Fabián Rodríguez de la Llave nace el 20 de enero de 1892 en Valdeverdeja, municipio de la provincia de Toledo. Desde pequeño muestra interés por la vida militar y a los 19 años se alista como soldado voluntario en el Regimiento de Infantería «África 68» con destino en Melilla llegando a alcanzar la categoría de Cabo 1º. Al causar baja regresa a la península y es alistado el 15 de enero de 1914 como soldado con destino en el Regimiento Montado de Artillería (6º Batería) de Zaragoza, alcanzado de nuevo la categoría de Cabo 1º.
El 28 de octubre de 1915, a los 23 años, ingresa en la Guardia Civil en el 5º Tercio de Caballería de la Comandancia de Valencia. Desde su ingreso y hasta 1920 en que tendrá lugar su nuevo destino en Buixa (Puerto de Larache), dentro del Protectorado español de Marruecos, se pone de manifiesto su meritoria carrera mediante varias Reales Órdenes en las que se le manifiesta la «Real Satisfacción» por sus brillantes y honrosos comportamientos en el ejercicio de su cargo. En 1922 es destinado a Madrid donde contrae matrimonio un año más tarde. Tres años más tarde se le concede por el Presidente del Directorio Militar el uso de la «Medalla de Homenaje a la Monarquía».
En 1922 es destinado a Madrid, contrayendo matrimonio en esta ciudad el 24 de abril de 1923. En 1925 se le concede por el Excmo. Sr. Presidente del Directorio Militar el uso de la «Medalla de Homenaje a la Monarquía». Durante varios años alterna destinos entre la Comandancia de Córdoba y Madrid y en 1929 se le concede por Real Orden del Ministerio del Ejército el Dictado de «Don» por estar en posesión del diploma de Tenedor de Libros (contable) expedido por el Instituto Politécnico de Sevilla. Un año más tarde Su Majestad el Rey Alfonso XIII dispone se signifique su satisfacción con que el Gobierno ha visto y ha apreciado en todo su valor su alto espíritu y actuación en defensa del orden público.
El 11 de abril de 1933 presta promesa de adhesión a la República con arreglo al Decreto de 22 de abril de 1931. Destinado de nuevo al puesto de Torrelaguna, el 12 de junio de 1934 y a consecuencia de una huelga de agricultores en la zona en la que su intervención fue decisiva para evitar hechos violentos es acusado falsamente por el Delegado del Gobierno como inductor de la huelga, lo que le lleva a enfrentarse verbalmente al capitán Jefe de Línea por haber dado credibilidad a la falsa denuncia. Como consecuencia de ello es arrestado y expedientado por delito de insubordinación, si bien cuatro días más tarde, el juez instructor le pondrá en libertad, quedando sobreseída la causa.
El 15 de octubre de 1935, por orden del Ministerio de la Gobernación se le concede el empleo de sargento y es destinado al puesto de Nueva Carteya. Ya en nuestro pueblo y tras el alzamiento militar del 18 de julio de 1936 contra el Gobierno de la Segunda República, tienen lugar unos acontecimientos que marcarían su destino vital debido a su fidelidad al gobierno republicano legalmente constituido, siendo encarcelado y condenado a pena de muerte tal y como se interesó en la Causa de la que fue juez instructor el comandante de Infantería Guillermo García Carrasco.
El 25 de octubre de 1936 el Auditor de Guerra de la 2ª División, Francisco Bohórquez, presta su consentimiento al fallo recaído y se remite la causa a la autoridad militar de la División. Asimismo el 1 de noviembre el general Queipo de Llano, de la 2ª División del Estado Mayor, aprueba la sentencia dictada devolviendo lo actuado a la autoridad judicial a los fines oportunos en orden a los trámites de ejecución de la sentencia, lo que tiene lugar el 7 de diciembre. El día 11 el juez instructor acuerda notificar la sentencia al sargento Fabián Rodríguez de la Llave, notificación que tiene lugar ante su defensor dándose lectura íntegra de la misma. Acto seguido es conducido a la sala destinada a capilla manifestándole el juez que podía pedir los auxilios que necesitara. Finalmente, ese mismo día 11 de diciembre de 1936, a las ocho y cinco minutos de la mañana, sería fusilado en el picadero del cuartel del Marrubial de Córdoba. El capitán médico Alfredo Hurtado Oliva certificaría su defunción y tras ello fue inhumado en el cementerio de San Rafael de la misma ciudad.